Menyelesaikan Persamaan Mutlak
Nilai
mutlak suatu bilangan dapat diartikan jarak antara bilangan tersebut
dari titik nol(0). Dengan demikian jarak selalu bernilai positif.
Misalnya:
Perhatikan garis bilangan berikut.
Jarak angka 6 dari titik 0 adalah 6
Jarak angka -6 dari titik 0 adalah 6
jarak angka -3 dari titik 0 adalah 3
Jarak angka 3 dari titik0 adalah 3.
Dari penjelesan di atas memang tampak bahwa nilai mutlak suatu bilangan selalu bernilai positif.
Berkaitan
dengan menentukan nilai mutlak suatu bilangan, maka muncullah tanda
mutlak. Tanda mutlak disimbolkan dengan garis 2 ditepi suatu bilangan
atau bentuk aljabar.
Misalnya seperti berikut.
Secara umum, bentuk persamaan nilai mutlak dapat dimaknai seperti berikut.
Jika kita mempunyai persamaan dalam bentuk aljabar, maka dapat dimaknai sebagai berikut.
Jadi, bentuk dasar di atas dpat digunakan untuk membantu menyelesaikan persamaan mutlak.
Lebih jelasnya perhatikan contoh-contoh berikut.
Contoh Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan nilai Mutlak di bawah ini.
Jawaban:
Bentuk-Bentuk
persamaan nilai mutlak di atas dapat diselesaikan sebagai berikut. Pada
prinsipnya, langkah langkah penyelesaian nilai mutlak diusahakan bentuk
mutlak berada di ruas kiri.
1. Pada bentuk ini ada dua penyelesaian.
(*) x + 5 = 3 , maka x = 3 - 5 = -2
(**) x + 5 = -3, maka x = -3 - 5 = -8
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {-2, -8}
2. Pada bentuk ini ada dua penyelesaian.
(*) 2x + 3 = 5 , maka 2x = 5 - 3
2x = 2 <==> x = 1
(**) 2x + 3 = -5 , maka 2x = -5 -3
2x = -8 <==> x = -4
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {-4, 1}
3.
Perhatikan bentuk aljabar di dalam tanda mutlak, yaitu x+1. Penyelesaian
persamaan nilai mutlak ini juga dibagi menjadi dua bagian.
Bagian pertama untuk batasan x+1>= 0 atau x >= -1
Bagian kedua untuk batasan x+1< 0 atau x < -1
Mari kita selesaikan.
(*) untuk x >=-1
Persamaan mutlak dapat ditulis:
(x + 1) + 2x = 7
3x = 7 - 1
3x = 6
x = 2 (terpenuhi, karena batasan >= -1)
(**) untuk x < -1
Persamaan mutlak dapat ditulis:
-(x + 1) + 2x = 7
-x - 1 + 2x = 7
x = 7 + 1
x = 8 (tidak terpenuhi, karena batasan < -1)
Jadi, Himpunan penyelesaiannya adalah {2}.
4.
Perhatikan bentuk
aljabar di dalam tanda mutlak, yaitu 3x + 4. Penyelesaian persamaan nilai
mutlak ini juga dibagi menjadi dua bagian.
Bagian pertama untuk batasan 3x+4>= 0 atau x >= -4/3
Bagian kedua untuk batasan 3x+4< 0 atau x < -4/3
Mari kita selesaikan.
(*) untuk x >=-4/3
Persamaan mutlak dapat ditulis:
(3x + 4) = x - 8
3x - x = -8 - 4
2x =-12
x = -6 (tidak terpenuhi, karena batasan >= -4/3)
(**) untuk x < -4/3
Persamaan mutlak dapat ditulis:
-(3x + 4) = x - 8
-3x - 4 = x -8
-3x - x = -8 + 4
-4x = -4
x = 1 (tidak terpenuhi, karena batasan < -4/3)
Jadi, Tidak ada Himpunan penyelesaiannya.
Menyelesaikan Pertidaksamaan Nilai Mutlak
Menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak caranya hampir sama dengan persamaan nilai mutlak. hanya saja berbeda sedikit pada tanda ketidaksamaannya. Langkah-langkah selanjutnya seperti menyelesaikan pertidaksamaan linear atau kuadrat satu variabel . Pertidaksamaan mutlak dapat digambarkan sebagai berikut.
Apabila fungsi di dalam nilai mutlak berbentuk ax + b maka pertidaksamaan nilai mutlak dapat diselesaikan seperti berikut.
Lebih jelasnya perhatikan contoh berikut ini.
Contoh
Tentukan himpunan penyelesaian dari Pertidaksamaan nilai mutlak berikut ini.
Jawaban
1. Cara menyelesaikan pertidaksamaan mutlak ini sebagai berikut.
-9 < x+7 < 9
-9 - 7 < x < 9 - 7
-16 < x < 2
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah { x/ -16 < x < 2}
2. Cara menyelesaikan pertidaksamaan mutlak ini dibagi menjadi dua bagian.
(*) 2x - 1 >= 7
2x >= 7 + 1
2x >= 8
x >= 4
(**) 2x - 1 <= -7
2x <= -7 + 1
2x <= -6
x <= -3
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah { x/ x <= -3 atau x >= 4}
3. Kalau dalam bentuk soal ini, langkah menyelesaikan pertidaksamaannya dengan mengkuadratkan kedua ruas.
perhatikan proses berikut ini.
(x + 3)2 <= (2x – 3)2
(x + 3)2 - (2x – 3)2 <= 0
(x + 3 + 2x – 3) (x + 3 – 2x + 3) <= 0 (ingat: a2 – b2 = (a+b)(a-b))
x (6 - x) <=0
Pembuat nol adalah x = 0 dan x = 6
Mari selidiki menggunakan garis
bilangan
Oleh karena batasnya <= 0, maka
penyelesaiannya adalah x <=0 atau x >=6.
Jadi, himpunan penyelesaiannya
adalah {x/ x <= 0 atau x >= 6}.
Mari
selidiki menggunakan garis bilangan
Oleh
karena batasnya <= 0, maka penyelesaiannya adalah x <=0 atau x >=6.
Jadi,
himpunan penyelesaiannya adalah {x/ x <= 0 atau x >= 6}.
Oleh
karena batasnya <= 0, maka penyelesaiannya adalah x <=0 atau x >=6.
Jadi,
himpunan penyelesaiannya adalah {x/ x <= 0 atau x >= 6}.
4. Menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak seperti ini lebih mudah menggunakan cara menjabarkan definisi.
4. Menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak seperti ini lebih mudah menggunakan cara menjabarkan definisi.
Prinsipnya adalah batasan-batasan pada fungsi nilai mutlaknya.
Prinsipnya adalah batasan-batasan pada fungsi nilai mutlaknya.
Perhatikan pada 3x + 1 dan 2x + 4.
Dari batasan batasan itu maka dapat diperoleh batasan-batasan nilai penyelesaian seperti pada garis bilangan di bawah ini.
Dengan garis bilangan tersebut maka pengerjaanya dibagi menjadi 3 bagian daerah penyelesaian.
Perhatikan pada 3x + 1 dan 2x + 4.
Dari batasan batasan itu maka dapat diperoleh batasan-batasan nilai penyelesaian seperti pada garis bilangan di bawah ini.
Dengan garis bilangan tersebut maka pengerjaanya dibagi menjadi 3 bagian daerah penyelesaian.
1. Untuk batasan x >= -1/3 ......(1)
1. Untuk batasan x >= -1/3 ......(1)
(3x + 1) - (2x + 4) < 10
(3x + 1) - (2x + 4) < 10
3x + 1 - 2x- 4 < 10
3x + 1 - 2x- 4 < 10
x- 3 < 10
x- 3 < 10
x < 13 .......(2)
x < 13 .......(2)
Dari (1) dan (2) diperoleh irisan penyelesaian -1/3 <= x < 13
Dari (1) dan (2) diperoleh irisan penyelesaian -1/3 <= x < 13
2. Untuk batasan -2<= x < -1/3 ......(1)
2. Untuk batasan -2<= x < -1/3 ......(1)
-(3x + 1) - (2x + 4) < 10
-(3x + 1) - (2x + 4) < 10
-3x - 1 - 2x - 4 < 10
-3x - 1 - 2x - 4 < 10
-5x - 5 < 10
-5x - 5 < 10
-5x < 15
-5x < 15
-x < 3
-x < 3
x > 3 .......(2)
x > 3 .......(2)
Dari (1) dan (2) tidak diperoleh irisan penyelesaian atau tidak ada penyelesaian.
3. Untuk batasan x < -2 ......(1)
3. Untuk batasan x < -2 ......(1)
-(3x + 1) + (2x + 4) < 10
-(3x + 1) + (2x + 4) < 10
-3x - 1 + 2x + 4 < 10
-3x - 1 + 2x + 4 < 10
-x + 3 < 10
-x + 3 < 10
-x < 7
-x < 7
x > -7 .......(2)
x > -7 .......(2)
Dari (1) dan (2) diperoleh irisan penyelesaian -7 < x < -2.
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {x/ -1/3 <= x < 13 atau -7 < x < -2}.
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {x/ -1/3 <= x < 13 atau -7 < x < -2}.
Perhatikan contoh Pertidaksamaan mutlak lainnya berikut.
Perhatikan contoh Pertidaksamaan mutlak lainnya berikut.